数学的哲学危机，如果存在都是“经验”，那么数学真理如何存在

数学家认为他们提供了哲学家思想的源泉但在18世纪，哲学家在否定物质世界的真理先驱在《人性论》中，休谟强调我们既不认识精神，也不认识物质，两者都是虚幻的我们只接受感觉印象，记忆，思想等简单的概念只是这些感觉的模糊反映任何复杂的概念都是简单概念的集合其实精神只是我们感觉和概念的浓缩除了可以通过直接经验感知的东西，我们不能假设其他任何东西的存在，但经验只能产生感觉

休谟同样对物质持怀疑态度谁能保证会有一个永恒的物质世界我们所能知道的只是我们对这样一个世界的感受对一把椅子的反复感知并不能证明它真的存在时间和空间只是我们产生概念的方式和顺序同样，因果关系只是习惯中概念之间的联系无论是时间还是空间，还是因果关系，都不是客观现实我们被自己的感知能力所迷惑，于是相信存在一个具有某种属性的外部世界其实这只是一个没有根据的推论，感知的产生是不可理解的我们不知道它是来自于外在的东西，来自于内心，还是来自于上帝

大卫·休谟

人本身只是个体感情和思想的主宰，他只能这样生活自我是不同感知的汇聚任何了解自己的尝试都只能导致理解其他所有的人和假定的外部世界都只是一个人的认识，没有什么能保证它们真的存在所以不可能有关于一个永恒客观的物质世界的科学规律这个规律只是对一种感觉的恰当概括再者，因为因果的概念不是基于科学证明，而只是一种习惯，从经常发生的事件的通常顺序来思考，所以我们无法知道过去感知的事件是否会在未来再次发生所以休谟否认自然法则的必然性，永久性和不可摧毁性

休谟通过否定外界遵循固定数学规律的信念，也否定了代表现实的逻辑推理结构的价值但是，数学也包含关于数字和几何的定理，这些定理无疑是从包含数字和几何的假设真理中推导出来的休谟并不否认公理，而是贬低公理和由公理导出的结果公理来自对假定的物理世界的感知定理确实是公理的必然结果，但无非是对公理的准确复述它们是推论，但它们只是公理中隐含的断言的推论所以公理和定理是同义反复，不是真理

回答人如何获得真理这个基本问题的是休谟——他否认真理的存在，人是不可能辨别真理的休谟的著作不仅贬低科学和数学中的努力和成果，而且质疑推理本身的价值对于大多数18世纪的思想家来说，这种对人类最高智力的否认是一种严重的侵犯休谟的哲学对18世纪的大多数学者来说是矛盾的和令人厌恶的，它与数学和其他科学的惊人成就如此格格不入，以至于遭到了反驳

历史上最受尊敬，可能也是最深刻的哲学家康德发起了这一挑战可是，仔细考察康德苦心得出的结论，发现它并不比别人的更有说服力

我们可以准确地说，纯粹的先验综合知识，纯粹的数学和纯粹的物理都是真实的，先天的，它们都包含着一些被广泛认可的，绝对确定的命题，...并且它们独立于经验。

康德

在《纯粹理性批判》一书中，康德甚至从更确定的词语开始他肯定所有的数学公理和定理都是真理，但是为什么呢康德问自己他愿意接受这样的事实吗显然，单凭经验不足以证明它们的有效性如果你能回答一个更大的问题:数学真的是一门科学吗你也可以回答这个问题康德的回答是:时空的形式取决于我们的心灵，所谓的时空只是我们感知的一种模式这种感知模式是由头脑对待经验的方式决定的我们根据这些智力形式来感知，组织和理解经验头脑将这些方式添加到感觉和印象中，使感觉与内部模式一致

既然康德从人脑创造了空间，他看不出有什么理由不应该是欧几里得空间他想象不出任何其他几何空间这让他相信不存在其他空间，所以欧几里德几何定理既不是宇宙固有的，也不是上帝设计的它是人们感性认识组织化，合理化的结果关于上帝，康德说上帝的本质不在理性认识的范围之内，但我们还是应该相信上帝康德在几何学上的轻率超过了他在哲学上的大胆他从未离开过他在东普鲁士哥尼斯堡的家40英里，可是他认为他可以决定世界的几何形状

科学的数学规律呢由于所有的经验都是由时间和空间的心理框架形成的，所以数学必须与所有的经验相一致在《自然科学的形而上学基础》中，康德承认牛顿定律及其推论是不证自明的他声称牛顿已被证明的运动定律可以从纯粹的推理中推导出来，而这些定律是唯一能让自然被理解的假设他说牛顿给了我们对宇宙如此清晰的认识，以至于它永远不会改变

更一般地说，康德认为科学的世界是一个由精神组织和控制的感官印象的世界，它与内部的范畴是一致的，如空间，时间，因果和物质包含了精神对象必须符合的结构感官印象真的来自现实世界可是不幸的是，这个世界是不可知的所谓现实，只有借助知觉，通过主观分类才知道所以，除了欧几里得几何和牛顿力学，没有别的方法来组织经验伴随着经验的增加和新科学的形成，头脑不会从这些新的经验中提取和形成新的原理相反，唤醒大脑中沉睡的部分来解释这些新的体验心理观察是由经验激发的，这解释了为什么有些真理，如力学定律，发现得相当晚，而另一些却在几个世纪前就为人所知

康德哲学几乎是毫不掩饰地崇尚理性可是，他认为理性的作用不在于探索自然，而在于开发人类心灵的贫瘠之地因为来自外界的知觉提供了精神组织的原始材料，经验被公认为知识的必然因素，数学是精神必然规律的揭示者

数学家们习惯于数学是先验真理的体系这样的论断，但对于康德是如何得出这一结论的，大多数人并没有给予足够的关注否则，他的理论会让所有数学家停止工作我们实际拥有的和我们感受到的是一样的结构这个空间的知觉结构一定是欧几里得的吗我们是怎么知道的与康德不同，数学家和物理学家仍然相信存在一个由独立于人类精神的规律所支配的外部世界人们只是揭示他们的设计规则，并用它们来预测外面的世界会发生什么

康德的学说既有解放思想的一面，也有束缚思想的一面因为它强调的是精神所能组织的，我们并不真正了解的世界中的经验，他为创造与当时人们所坚信的概念相悖的概念奠定了基础但由于他坚持按照欧几里得几何来组织空间感知，阻碍了对其他观点的接受如果康德更多地关注他那个时代的数学家的工作，也许他不会对这个观点如此固执己见